סדרה חשבונית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: $\ a_{n+1}-a_{n}=d$ ($\ a_{n}$ הוא האיבר ה-$\ n$-י בסדרה).
דוגמה: בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע – 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• $\ a_{1}$ – האיבר הראשון בסדרה
• $\ d$ – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה
• $\ n$ – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחאות

נוסחה לאיבר הכללי

אם $a_{1}$ הוא האיבר הראשון, ו-$d$ הוא ההפרש, האיבר ה-$n$ נתון על ידי הנוסחה: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$.

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:$\ (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+(a_{5}-a_{4})+...+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n}-a_{n-1})=d\cdot (n-1)$

החלק השמאלי של השוויון האחרון הוא טור טלסקופי, שבו כל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים:

$\ -a_{1}+a_{n}=d(n-1)$

$\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)$

נוסחה לסכום הסדרה

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-$n$ (כולל) לפי הנוסחה:

$S_{n}={\frac {n\left[2a_{1}+(n-1)d\right]}{2}}$

בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיברים הקודם והעוקב לו:

$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$$

ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של $n$ האיברים הראשונים בסדרה: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-1}+a_{n}$, ניתן לרשום בשני אופנים: $=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})$

ולכן:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$ (גם זו נוסחה שימושית במקרים רבים)

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: $\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)$, והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{1}+d(n-1))}{2}}={\frac {n[2a_{1}+d(n-1)]}{2}}$

נוסחאות נוספות

נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: $S_{{\frac {n}{2}}(even)}-S_{{\frac {n}{2}}(odd)}={\frac {nd}{2}}$.

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה: $\ a_{1},a_{2},a_{3},....a_{2n}$, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא $a_{2n}$ (כלומר, יש $2n$ איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמספר האיברים הוא זוגי, אז מספר האיברים שמיקומם (האינדקס שלהם) זוגי שווה למספר האיברים שמיקומם אי-זוגי, ומכיוון שמספר האיברים הכולל הוא $2n$, אז ישנם $n$ איברים שמקומם זוגי ו-$n$ איברים שמקומם אי-זוגי. סכום האיברים הזוגיים: $\ S_{n(even)}={\frac {n(2a_{2}+(n-1)2d)}{2}}$

$\ a_{2}$ הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא $\ d$, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא $\ 2d$.

נציב $\ a_{2}=a_{1}+d$ במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל: $\ S_{n(even)}=na_{1}+n^{2}d$.

נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל: $\ S_{n(odd)}=na_{1}+n^{2}d-nd$.

נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל: $\ S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd$ מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא $\ 2n$ ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת $n$ איברים, נחלק את ה-$\ n$ במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב ${\frac {n}{2}}$ במקום $\ n$).
נקבל: $S_{{\frac {n}{2}}(even)}-S_{{\frac {n}{2}}(odd)}={\frac {nd}{2}}$

דוגמאות

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)

• הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת $n$ איברים הוא $\ n^{2}$.
• הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת $n$ איברים הוא $\ n(n+1)$.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• סדרה כללית
• טור (מתמטיקה)
• אינדוקציה מתמטית

קישורים חיצוניים

• מחשבון סכום סדרה חשבונית
• סיכום על סדרות חשבוניות, מתוך סיכומונה
• סדרה חשבונית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה מוגש באדיבות ויקיפדיה העברית, תחת רשיון ייחוס שיתוף זהה (CC BY-SA 3.0). (הדף המקורי, רשימת התורמים)
הערך בוויקיפדיה גדול מערך זה ב +120 תווים

לעדכון מוויקיפדיה, לחץ כאן.

רענן נתונים