מרחק

הרחבות או שכתובים לערך זה התבצעו בעבר באתרים שונים. סקירת השינויים. הסר

מרחקים גדולים כמו המרחק בין קצה האגם לאישה שבתמונה יתוארו על פי רוב במידות אורך של קילומטרים. למרחקים קטנים יותר נהוג להשתמש במידות קטנות יותר

איור המתאר את המרחק (d) בין שתי נקודות על מישור

מרחק הוא מדד מספרי לגודלו של הפער במרחב בין שני אובייקטים.

גאומטריה

המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של הפרשם.

בישר, המרחק בין שני מספרים ממשיים הוא הערך המוחלט של הפרשם.

במרחב התלת-ממדי המרחק בין שתי נקודות הנתונות בקואורדינאטות קרטזיות: $(x_{1},y_{1},z_{1})$ ו-$(x_{2},y_{2},z_{2})$ הוא:

${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$

שני המקרים הם מקרים פרטיים של הגדרת המרחק בין שתי נקודות במרחב אוקלידי n-ממדי שהיא $\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$, כאשר $\|\cdot \|$ הנורמה האוקלידית.

מרחק כאורך

במרחב התלת-ממדי (ובכל מרחב אוקלידי) המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר ביניהן. במילים אחרות, המרחק הוא אורך המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות.

קשר זה מצדיק את הגדרת האורך בגאומטריה האוקלידית. הנוסחה מתקבלת ממשפט פיתגורס.

הכללה

ערך מורחב – מטריקה

במתמטיקה ישנו עניין בהגדרת מרחק בין נקודות גם במרחבים נוספים מלבד המרחב האוקלידי. כך למשל בתורת האינפורמציה מקובל להגדיר את ה"מרחק" בין שתי מילים באורך זהה כמספר האותיות שיש לשנות במילה אחת כדי לקבל את המילה השנייה (ראו מרחק המינג).

לצורך זה הוגדר המונח מטריקה כהכללה למרחק האוקלידי. מטריקה היא פונקציה שמתאימה לכל שתי נקודות במרחב מספר אי-שלילי שנקרא "מרחק" ומקיים שלושה תנאים:

• המרחק בין שתי נקודות הוא 0 אם ורק אם הן זהות.
• המרחק מ-A ל-B שווה למרחק מ-B ל-A (סימטריה).
• המרחק הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות (אי-שוויון המשולש).

מרחב שבו מוגדרת מטריקה נקרא מרחב מטרי והוא דוגמה מרכזית למרחב טופולוגי.

גם את הקשר בין מרחק לאורך ניתן להכליל. מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שבו מוגדרת נורמה $\|\cdot \|$ (פונקציה שמתאימה לכל וקטור את אורכו). בכל מרחב נורמי אפשר להגדיר מטריקה כך שהמרחק בין שני וקטורים $\mathbf {x}$ ו-$\mathbf {y}$ הוא $\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$. כלומר המרחק בין שני וקטורים הוא אורך ההפרש שלהם.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מרחק בוויקישיתוף

• מחשבון מרחק בין שתי נקודות, באתר Icalc.

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לאנציקלופדיה היהודית ולהרחיב אותו.

ערך זה מוגש באדיבות ויקיפדיה העברית, תחת רשיון ייחוס שיתוף זהה (CC BY-SA 3.0). (הדף המקורי, רשימת התורמים)
הערך בוויקיפדיה גדול מערך זה ב +414 תווים

לעדכון מוויקיפדיה, לחץ כאן.

רענן נתונים