התפלגות

From האנציקלופדיה היהודית
Jump to: navigation, search
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אחוזי ההתפלגות הנורמלית מסביב לממוצע (ציר הסימטריה) לפי סטיות תקן.

בסטטיסטיקה ותורת ההסתברות, התפלגות היא מרכיב בסיסי בתיאור ההתנהגות של תופעה או תהליך שיש בהם היבטים אקראיים. מרחב ההסתברות מהווה את קבוצת כל התוצאות האפשריות של התהליך, וההתפלגות קובעת מהו הסיכוי של כל מאורע, ובכך מאפשרת להבדיל בין תהליכים אקראיים שונים המתרחשים באותו מרחב.

אם למשתנה מקרי יש התפלגות עם פרמטרים: , נהוג לסמן זאת על ידי: .

מבחינה טכנית, התפלגות היא פונקציית מידת הסתברות המוגדרת על הקבוצות המדידות במרחב מדיד; קיומה של פונקציה כזו הופך את המרחב למרחב מידה שהוא למעשה מרחב הסתברות. במילים אחרות, ההתפלגות היא פונקציה, הקובעת את הסיכוי לכל מאורע אפשרי.

התפלגות בדידה והתפלגות רציפה[edit | edit source]

מבחינים בין שני סוגים עיקריים של התפלגויות:

  1. התפלגות בדידה - נוסחה או טבלה, המתאימה, לכל מאורע אפשרי, מספר חיובי, שהוא ההסתברות של אותו מאורע.
  2. התפלגות רציפה - פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שההסתברות לכל נקודה היא אפס.
  • קיימת גם התפלגות שאינה בדידה ואינה רציפה (או התפלגות שהיא בחלקה רציפה ובחלקה בדידה) - פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שקיימות נקודות שהסתברותן חיובית, אולם סכום הסתברויות אלה קטן מ-1.

את הסוג השני (והשלישי) אפשר להכליל להתפלגויות המוגדרות על מרחבים רב-ממדיים. ההתפלגות מתייחסת למשתנה מקרי, העשוי לקבל ערכים בקבוצה נתונה (סופית, או מוכלת בישר הממשי). במקרה הראשון, ההתפלגות מתארת את הסיכויים לכל תופעה מן הסוג . במקרה השני, ההתפלגות של המשתנה מתארת בקטע את ההסתברות , כלומר, ההסתברות לכך שהמשתנה יקבל ערך בקטע .

פונקציית הצטברות של משתנה ממשי[edit | edit source]

כל משתנה מקרי המקבל ערכים ממשיים, מאפשר להגדיר פונקציית הצטברות (או "פונקציית התפלגות מצטברת"), לפי הנוסחה . הפונקציה מתארת את הסיכוי למאורע , כאשר הוא מספר ממשי, ולכן היא מונוטונית עולה עם . מאידך, פונקציית ההצטברות מאפשרת לחשב את הסיכוי לכך שהמשתנה ייפול בקטע נתון, וכך קשורות התכונות שלה באופן הדוק לתכונות של המשתנה המקרי.

עבור משתנה מקרי בדיד, המקבל מספר בן מנייה של ערכים, פונקציית ההצטברות היא קבועה למקוטעין. התפלגות נקראת רציפה אם פונקציית הצטברות ההסתברות שלה רציפה.

התפלגויות רציפות בהחלט הן כאלה שניתן לבטא באמצעות פונקציית צפיפות , על ידי אינטגרל: (ישנן התפלגויות רציפות שאינן רציפות בהחלט, ראו פונקציה סינגולרית). הפונקציה נדרשת להיות מוגדרת על הממשיים, אי-שלילית, אינטגרבילית לפי לבג, ולקיים את התנאי . במקרה כזה , ומכאן שפונקציית ההצטברות נדרשת להיות פונקציה גזירה, ולא סתם רציפה.

התומך של התפלגות היא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר שלמשלים שלה הסתברות אפס (מידה אפס).

רשימת התפלגויות חשובות[edit | edit source]

לכמה התפלגויות שהן בעלות חשיבות תאורטית או מעשית רבה יש שמות:

  • התפלגויות בדידות
    • בעלות תומך סופי
      • ההתפלגות המנוונת ב-, שבה מקבל בוודאות את הערך . התפלגות זו אמנם אינה אקראית, אך היא עונה על ההגדרה של משתנה מקרי. התפלגות זו מאפשרת לראות קבועים כמקרה פרטי של משתנים מקריים.
      • ההתפלגות האחידה הבדידה, שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה. זו אמורה להיות ההתפלגות של מטבע הוגן, קובייה הוגנת, רולטה או חפיסת קלפים שנטרפה היטב. כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לייצר משתנים מקריים אחידים. אולם כל אלה הם מכשירים פיזיים או מכניים, הסובלים מפגמים והפרעות, כך שההתפלגות האחידה היא רק קירוב של התנהגותם. במחשבים ספרתיים, סדרות פסאודו-אקראיות משמשות ליצירת התפלגות בדידה אחידה אקראית מבחינה סטטיסטית.
      • התפלגות ברנולי, שבה הערך 1 מתקבל בהסתברות והערך 0 בהסתברות .
      • ההתפלגות הבינומית, שמתארת את מספר ההצלחות בסדרה סופית של ניסויי כן/לא בלתי תלויים.
      • ההתפלגות ההיפרגאומטרית, שמתארת את מספר ההצלחות ב- הניסויים הראשונים מתוך סדרה של ניסויי כן/לא, כאשר מספר ההצלחות הכולל בסדרה ידוע.
    • בעלות תומך אינסופי
  • התפלגויות רציפות

ראו גם[edit | edit source]

מונחים קשורים בתורת הסתברות:

מונחים קשורים בתורת המידה:

קישורים חיצוניים[edit | edit source]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא התפלגות בוויקישיתוף


ערך זה מוגש באדיבות ויקיפדיה העברית. (הדף המקורי, רשימת התורמים)
הערך בוויקיפדיה גדול מערך זה ב +497 תווים

לעדכון מוויקיפדיה, לחץ כאן.

NivdakVeushar.png