אי-שוויון המשולש

הרחבות או שכתובים לערך זה התבצעו בעבר באתרים שונים. סקירת השינויים. הסר

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה $\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$, כאשר $\ d(\cdot ,\cdot )$ היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה $\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}$ נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי-שוויון המשולש הוא $\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|$. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית $\ |x+y|\leq |x|+|y|$. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים $\ -|x|\leq x\leq |x|$ ו- $\ -|y|\leq y\leq |y|$, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: $|x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}$

הוכחה פורמלית

נוכיח ש-$\ |x+y|\leq |x|+|y|$. אם $\ x,y$ חיוביים אז $\ |x+y|=x+y=|x|+|y|$. אם שניהם שליליים, $\ |x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)=|x|+|y|$. המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. מכיוון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח ש-$\ x<0<y$, ואז $\ |x+y|=\max\{x+y,-x-y\}\leq \max\{y,-x\}<y+(-x)=|y|+|x|$.

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה $\ |x+y|\leq |x|+|y|$, המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה $\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא $\ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C)$.

ראו גם

• אי-שוויון המשולש האינטגרלי

ערך זה מוגש באדיבות ויקיפדיה העברית, תחת רשיון ייחוס שיתוף זהה (CC BY-SA 3.0). (הדף המקורי, רשימת התורמים)
הערך בוויקיפדיה גדול מערך זה ב +173 תווים

לעדכון מוויקיפדיה, לחץ כאן.

רענן נתונים